hanyeah

题目：已知x^2+x+1=0，求x^2007。

网上好多人录视频，给出的解法是这样的：

=>(x-1)(x^2+x+1) = 0

=>x^3-1=0

=>x^3=1

=>x^2007 = (x^3)^669=1

感觉这种方法有点误人子弟。

1、必须知道x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)，不知道的话，是想不到这种方法的；

2、必须确定x-1≠0，等式两边才能同时乘以x-1；

条件1，导致这种方法太难想到，不通用；条件2，导致不严谨，必须考虑；

有人提出下面这种方法：

首先确定x≠0，很好确定，反证法，先假设x=0，带进等式，发现等式不成立，即证。

等式两边同时乘以x，得到

x(x^2+x+1) = 0

=>x^3 + x^2 + x = 0

由原式x^2+x+1=0可以得到

=>x^2+x = -1

所以有

=>x^3 + (-1) = 0

=>x^3 = 1

这个方法好一点，但是也需要观察，两边同时乘以x才可以，这一步是很难想到的。

我们可以试试这么做。

由x^2+x+1=0，我们可以得到以下几个等式

x^2 + x = -1     ①

x^2 + 1 = -x     ②

x + 1 = -x^2     ③

其中①可以提取出x，得到

x(x + 1) = -1    ④

把③带入到 ④得到x(-x^2) = -1

=>x^3 = 1    ⑤

我们没有用到任何技巧，就是纯数学推导。我们用到了一个思想，就是把所有已知的条件，以及变化罗列出来，然后再组合，得到新的条件，最终得到结果。

中国古代的数学书（比如《九章算术》）就是这种思路，会把所有的可能情况都罗列出来，所有的变化都尝试一遍。有兴趣可以阅读以下，很有收获。

我们再换一种方式。

由x^2+x+1=0，可以得到

=> x^2 = -(x+1)

带入x^2007得到

x^2007 = x^2*x^2005

             =-(x + 1)*x^2005

             =-x^2006 - x^2005

可以得到x^n的递推公式

f(n) = -f(n-1) - f(n-2)

（我想到了菲波那切数列f(n) = f(n-1) + f(n-2)，差了个负号。）

同样可以得到：x^3 = f(3) =-( x^2 + x) = 1

或者可以这样：

f(n) = -f(n-1) - f(n-2)

       =-(-f(n-2) - f(n-3)) - f(n-2)

       = f(n-2) + f(n-3) - f(n-2)

       = f(n-3)

=>x^2007 = x^3 = -(x^2 + x) = 1

还有最朴素的解法，先求出方程x^2+x+1=0的两个根，然后求x^2,x^3……直到x^2007。当然，算到3次方的时候，就发现x^3=1了。用到的都是基础知识，并不需要什么特殊的技巧。

现在很多老师讲题，不注重基础，过于注重技巧，学生解题出错，或者觉得难，解不出来，一般是因为老想着跳步，不愿意一步一步来。一步一步推导，一定不会出错，最后出错了，一定是哪一步推导出错了，很容易找到哪步错了，下次不再犯。而且很多时候，老师只告诉你对的，不告诉你错的，也不告诉你为什么对，为什么错。很多时候，发现悖论，解决悖论，然后就进步了，让学生只看到对的东西，认为隐藏了悖论，也不去思考，学生很难进步。